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0の0乗について

kosotatu.jp

 一旦更新をサボってしまうと、ズルズルと更新が滞ってしまっていけない。それはともかくとして。上のエントリを読んだものの、どうも釈然としない部分があるので、はてなブログtexを使う練習がてら、つらつらと書いていきたい。記事作成に携わっている方(早大院卒で、専攻は整数論!)に比べると、自分は数学のド素人でしかないのだが、この記事は高校数学の範疇での解説らしいので、その範疇で重箱の隅をつつくことくらいはできるんじゃないかと思う。全く大したことは書いていない。

 筆者は始めの方で、{2^{0}=1}になる理由を説明しているのだが、これがどうも片手落ちの感がある。筆者は{2^{0}=1}になる理由を、{2^{-1}=1/2}であることを用いて説明しているが、{2^{-1}}{2}の逆数になる理由については、なんの説明もない。定義だから、定義としてすんなり受け入れなければならないらしい。そんなことを言うのなら、{2^{0}=1}になる理由も、定義だから、で良いじゃないか。{2^{-1}}{2}の逆数であることをきちんと説明しない限り、{2^{0}=1}になる理由を説明したことにはならないだろう。しかも、{2}のマイナス乗という概念を使わなければ、{2^{0}=1}になることが説明できない、というわけでもない。この説明方法は、無用な混乱を招くだけのように思える。

 これから、自分なりに{2^{0}=1}であることを平易に説明したい(ごくごく一般的な説明方法だと思うが)。まず、{2}{3}乗と、{2}{4}乗を掛けあわせたものを考える。{2}{3}乗は、{2}{3}回掛けあわせたもので、{2^{3}=2\times2\times2}と表される。同様に、{2}{4}乗は、{2}{4}回掛けあわせたものになり、{2^{4}=2\times2\times2\times2}となる。

 上で言ったことを踏まえると、{2^{3}\times2^{4}=(2\times2\times2)\times(2\times2\times2\times2)}となる。{(2\times2\times2)\times(2\times2\times2\times2)}は、{2}を、{3+4}回掛けあわせたものだ、とも考えることができる。{2}を、{3+4}回掛けあわせたものは、{2^{3+4}}と表される。つまり、{2^{3}\times2^{4}=2^{3+4}}である、ということがわかる。同じように考えれば、{2^{4}\times2^{7}=2^{4+7}}だし、{2^{10000}\times2^{300}=2^{10000+300}}だ。

 ひとまず準備が整った。ここで、{2^{0}\times2^{1}}という式について、考えてみたい。先ほどの法則を適用すると、{2^{0}\times2^{1}=2^{0+1}=2^{1}}ということがわかる。ここで、{2^{1}=2}なので、{2^{0}\times2=2}である。この式の両辺に{\frac{1}{2}}を掛けると、{2^{0}=1}となる。

 {2^{-1}=\frac{1}{2}}になることについても、同じ考え方で説明ができる。先ほどの法則、および、{2^{0}=1}で有ることを用いれば、{2^{-1}\times2^{1}=2^{-1+1}=2^{0}=1}である。つまり、{2^{-1}\times2=1}である。この式の両辺に{\frac{1}{2}}を掛けると、{2^{-1}=\frac{1}{2}}であることがわかる。

 時間が掛かる割には全く大したことは書けてないし、{2^{0}=1}になる理由しか説明できてないが、まあいいや。文章の後半部分はいいんじゃないかと思う。勿論、{0^{0}}=1としたほうが便利だったり、理屈に合う流儀も有るんだろうけど。

 追記:今更だが、筆者がわざわざ{2^{-1}}を持ちだした意図っぽいものが分かった気がした。恐らく、{2^{0}=2^{1}\times2^{-1}=\frac{2}{2}=1}という式を持ってきて、その流れから、{{0}^{0}=\frac{0}{0}}という式が出る。ゼロ除算は定義されないので、そりゃあ{0^{0}}も定義されないよ、というふうに持っていきたかったのか。なるほど。それにしても、ちょっと不親切な気もするなあ。